黎曼zeta函数是最基本和最重要的复变函数之一。它是数论，复变函数和解析数论中的一个经典问题。在数学界和相关行业具有广泛的重要性和应用价值。
1869年，德国数学家黎曼首次提出了zeta函数，它是由尼古拉·伯努利数（Bernoulli numbers）引起的。伯努利数是由瑞士数学家Jakob Bernoulli首先研究得出。在尝试解决真正的素数分布问题时，黎曼发现zeta函数与素数分布之间存在一个重要的关系。
黎曼zeta函数可用公式表示：$$\zeta(s)= \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}$$该函数可以揭示许多基本的数学信息，如素数分布，质因数分布和自然数序列的规则性。除此之外，它和多领域有密切关联。例如，黎曼zeta函数在物理场中也有广泛应用。
在研究中，人们还发现了黎曼猜想。它是1859年黎曼想到的，用$a_n$来表示第n个素数, 记$s = \frac{1}{2} ti$. 则黎曼猜想的内容是：当$t \to 0$时，$$\pi(x)= \operatorname{R}(x) - \operatorname{Li}(x) = O(x^{1/2 \varepsilon})$$这里$x=a_n$，其中$\operatorname{R}(x)$和$\operatorname{Li}(x)$依次表示$x$以内素数个数和素数密度函数。虽然至今没有人能证明黎曼猜想的正确性，但是猜想的提出激发了许多数学家的兴趣。
黎曼zeta函数是一个极其重要的数学工具，对数学和其他领域有着深刻而广泛的影响。
